\[ \newcommand{im}{\operatorname*{im}} \]

代数拓扑简介

简介

使用抽象代数的工具来研究拓扑空间：用代数结构具体地，定量地描述或提取拓扑空间的拓扑特征
与点集拓扑相比，代数拓扑具有可计算性，更易用于研究具体的拓扑空间，并能设计算法进行计算
代数拓扑是计算拓扑与拓扑数据分析的主要理论基础

主要分支

基本群

关键词：

闭道路：给定拓扑空间 $X$，连续映射 $f: \mathbb S^1 \to X$ 就是闭道路
- 高维闭道路：$f: \mathbb S^n \to X$
定端同伦：不仅同伦，而且 $f, g$ 的两个端点相同
- 定端保证了基本群中的 $f \star g, g \star f$ 均良定义
带基点的拓扑空间
道路连接

我们首先构造出了两个简单的（定端）同伦等价类：右图中的小圈和大圈。

然后通过群运算，得到了（也许）无穷无尽的同伦等价类。

同伦群的问题

如图，同伦群

计算复杂，即使是最简单的 $n$ 维球面，也难以计算其高维同伦群
难以离散化，不利于计算机的实现
可能非交换，难以应用到实际的问题中

链复形与同调群

闭链

同调

如果两个闭链是某个拓扑子空间的所有边界，那么称这两个闭链是同调的 (homologous)。

如上图，对于拓扑空间 $X$，黄色部分就是一个拓扑子空间

链群

注意：不同维数的单形组成不同的链群

边界算子: $\partial_k: C_k \to C_{k-1}$

边界算子把不同维数的链群关联在了一起。

链复形

注意：

普遍意义上的同调群，不要求 $\partial_\ast$ 是边界算子，只要求满足相邻两个的复合是零映射即可
- 当然，边界算子满足“相邻两个的复合式零映射”，因此边界算子可以用来构建一种特殊的同调群——链复形
其中，$C_p$ 就是第 $p$ 个链群；$Z_p$ 就是 $\ker\partial_p$；$B_p$ 就是 $\operatorname*{im}\partial_{p+1}$

几何意义

我们称：

$Z_p$ 为闭链群，因为只有闭链，才能在映射只有变成 0（从而成为 $\ker$）
$B_p$ 为边缘群，因为只有边缘，才能在对应一个更高维的拓扑结构（从而成为 $\operatorname*{im}$）

不难发现，边缘必然是闭链，但是闭链未必是边缘（如下图，左侧是一个一般的闭链，但是它不是边缘。右侧是边缘，同时也是闭链）。因此，几何意义和上面的链复形的 $B_p \trianglelefteq Z_p$就对应起来了。

同调群

欧拉示性数

\[ \chi(K) = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i n_i \]

其中，$i$ 指的是复形 $K$ 中 $i$ 维复形的数目

欧拉-庞加莱公式 $$ \chi(K) = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i \beta_i $$ 其中，$\beta_i := \dim H_k(X; \mathbb{Q})$ 就是贝蒂数。

其他同调群

以上定义同调群的方法，为单纯同调，单纯同调构造了一个从单纯形到交换群的桥梁。

此外，还有其他针对不同对象所构造的同调：

奇异同调 (Singular Homology)：在拓扑空间上构造所谓的奇异单形，即连续映射 $\sigma: \Delta^n \to X$，再利用奇异单形构造链复形得到拓扑空间 $X$ 的奇异同调群
胞腔同调 (Cellular Homology)：在比单纯复形更广义的CW复形上构造的同调
方形同调 (Cubical Homology)：在方形阵列上构造的同调，在图像处理中经常使用

同调群计算

Smith 标准型

史密斯标准形（SNF）是适用于所有元素都位于主理想域（PID）的矩阵的标准形（不必是方阵） $$ \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0 & & \cdots & & 0 & & \cdots & & 0 \ 0 & \alpha_2 & 0 & & \cdots & & 0 & & \cdots & & 0 \ 0 & 0 & \ddots & & & & 0 & & & & 0\ \vdots & & & \alpha_r & & & \vdots & & & & \vdots \ & & & & 0 & & \ & & & & & \ddots & \ 0 & & & \cdots & & & 0 & & \cdots & & 0 \end{pmatrix} $$ 其中，$\forall 1 \leq i < r, \alpha_i | \alpha_{i+1}$。

$\mathbb Z_2$ 上的 Smith 标准型

由于 $\mathbb Z_2 = \set{0,1}$，因此，对角线上只能是 0, 1。从而，就是 $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_r = 1$。也就是： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & & \cdots & & 0 & & \cdots & & 0 \ 0 & 1 & 0 & & \cdots & & 0 & & \cdots & & 0 \ 0 & 0 & \ddots & & & & 0 & & & & 0\ \vdots & & & 1 & & & \vdots & & & & \vdots \ & & & & 0 & & \ & & & & & \ddots & \ 0 & & & \cdots & & & 0 & & \cdots & & 0 \end{pmatrix} $$

$\partial_k$ 的矩阵表达（关键概念）

不难发现，不管是 $\mathbb Z$ 还是 $\mathbb Z_2$，都是环（而且还是主理想整环），因此和所有 $k$-单形生成的链群本质上是一个主理想整环（有限生成）模。我们不妨直接使用矩阵来表示。

如上图所示：对于每一个链模 $C_k$，我们不妨直接使用所有 $k$-单形作为其自然基底。然后就可以将 $\partial_k$ 使用矩阵进行表达。

之后，我们可以将 $\partial_k$ 转换成 Smith 标准形（如下图）

从而：

纵向的 ones 就是像空间——(k-1)-边缘群，i.e. $B_{k-1}$
横向的 zeros 就是核空间——k-闭链群，i.e. $Z_k$

基底转换

但是，不难发现，我们通过：

$N_k$ 求出 $Z_k$
$N_{k+1}$ 求出 $B_k$

但是，$N_k$（的横向基底）和 $N_{k+1}$ （的纵向基底）不一定相同。因此，我们还需要进行基底的转换。

例子：正四面体

1. 求边界算子的矩阵

如图，我们以 $\partial_1$ 为例（在 $\mathbb Z_2$ 下）：

由于 $C_1$ 的基底就是：$\set{ab, ac, ad, bc, bd, cd}$，而 $C_0$ 是 $\set{a, b, c, d}$，因此矩阵就是一个 4 × 6 的 $$ M(\partial_1) =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

比如，$ab \to a + b$

2. Smith 分解算法

然后，我们可以通过 $\mathbb Z_2$ 上的 Smith 分解算法（此处略）来进行分解，得到： $$ \begin{aligned} &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \ = &U^{-1}M(\partial_1)V \ = &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} M(\partial_1) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

其中：$V$ 便是 Smith Normal Form (SNF) 的横向基，$U$ 便是 Smith 标准型的纵向基。

3. 求出 1-单形的闭链群 $Z_1$ 和 0-单形的边缘群 $B_0$

由于 SNF 的后三列为空，因此就是 $Z_1$。对应到 $V$ 上，我们取后三列，就是： $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 也就是： $$ \set{ab+ac+bc, ab+ad+bd, ac+ad+cd} $$ 不难发现，这就分别是正四面体的三个三角面片的三条边，而且第四个三角面片的三条边，可以由三个三角面片的三条边线性组合而成。符合直觉。

由于 SNF 的前三行不为空，因此就是 $B_0$。我们先求出 $U$： $$ U = &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ \end{bmatrix} $$

对应到 $U$ 上，我们取前三列（注意：取列而不是取行），就是： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$ 也就是： $$ \set{a+b, b+c, c+d} $$ 正好与结果相对应。

不难发现，这就分别是正四面体的三条棱的顶点，而且另外三条棱的顶点也可以由其组合而成。符合直觉。

上同调与对偶

上同调

上同调就是同调的对偶，上同调的映射就是同调映射的对偶映射。

上链群：$C^k(K) := C_k(K)^\ast$，也就是说，上链群就是链群的对偶空间
- 因此，上链就是作用在链群上的线性函数，也就是说作用在链群的自然基——单纯复形——上的任意函数
上边缘算子：$(\delta^k: C^k \to C^{k+1}) := (\partial_{k+1}: C_{k+1} \to C_k)^\ast$
- 也就是说：上边缘算子，就是 $\delta^k(\varphi)(x) := \varphi \circ \partial_{k+1}(x)$
- 上边缘算子的直观解释：将作用在 k-复形的函数映射到了 k+1-复形的函数。至于 k+1-复形的函数如何计算？那还靠的是
  - 首先将 k+1-复形通过边缘算子，映射为若干个 k-复形的线性组合
  - 然后再用作用在 k-复形上的函数来计算
- 上边缘算子的图例如下图所示

上链复形：$\dots \to C^{k-1} \to C^{k} \to C^{k+1} \to \dots$
上闭链和上边缘：$Z^k = \ker \delta^k, B^k = \im \delta^{k-1}$
- 上闭链、上边缘和闭链、边缘的区别（可以发现两者就是类似于补空间的关系）
- 注意：下图的 $B^k$ 其实是包含在 $Z^k$ 里面的

上同调群：$H^k = Z^k / B^k$

例子

如上图，

它之所以是 1-上闭链，是因为：任何的 2-单形，经过边缘算子之后，所生成的 1-单形的线性组合，输入到这个 1-上闭链函数中，必然为 0。也就是说，这个 1-上闭链在 $\delta^1$ 的零空间里
- 直观而言：就是图中任意的三角面片（i.e. 2-单形的基本单元），必然与这个单形有偶数个交“边”（i.e. 在 $\mathbb Z_2$ 意义下，就等价于 0 个交“边”、不相交）
它之所以是 1-上边缘，是因为：一个将蓝色区域点映射为 0，红色区域点映射为 1 的 0-上闭链，可以通过 $\delta^0$ 映射成这个 1-上闭链。也就是说，这个 1-上闭链在 $\delta^0$ 的像空间里
- 直观而言：就是图中的黑色边，都是蓝色区域和红色区域的跨边
另外，直观而言：由于所有三角面片经过两次 $\partial$ 之后，都会变成 2 × (3 个顶点) ≡ 0 × (3 个顶点) ≡ 0，因此，$\delta^{k}\circ\delta^{k-1} \equiv 0$，也就是说，必然有 $B_k \subseteq Z_k$。

上边缘矩阵

由于上边缘算子是边缘算子的对偶映射，自然，上边缘矩阵就是边缘矩阵的 Hermitian 转置：$M(\delta^k) := M(\partial_{k+1})$。

另外，不难发现，同调群和上同调群是同构的。

毕竟 $\rank H^i = \rank Z^k - \rank B^k = (\rank C_p - \rank B_k) - (\rank C_p - \rank Z_k) = \rank Z_k - \rank B_k = rank H_i$

对偶块

重心细分

具体解释：

对偶块的建立

简单来说，就是：

对于目标单形 $\sigma \in K$，我们先找出其重心
然后找出在 $\operatorname*{Sd} K$ 中所有与它的重心相连的单形
对于每一个与它的重心相连的单形，我们取出这个单形的所有顶点
对于这个单形的每个顶点，它必须是由一个维数不小于 $\dim \sigma$ 的 K 中的单形所生成