单形的符号
如果 \(L \sub K\)，且 K 只比 L 多一个单形（记作 \(\sigma\)，假设是 d-单形），那么，不难证明：
- 如果 \(\sigma\) 和同维单形构成了闭链，那么 \(\beta_d(K) = \beta_d(L) + 1\)
- 如果 \(\partial\sigma\) 不能被 \(B_{d-1}(K)\) 的基线性表出，那么 \(\beta_{d-1}(K) = \beta_{d-1}(L) - 1\)
同时，如果 (1) 发生了，那么说明 \(\partial (\sigma + \sum_{i=0}^m \sigma_i) = 0 \implies \partial \sigma = -\sum_{i=0}^m \partial \sigma_i\)，也就是 (2) 不会发生。
进一步，我们可以证明 (1) (2) 不仅是互斥的，还是对立的。
因此，给定 \(K\)，我们可以赋予单形 \(\sigma\) 一个（良定义的）符号。
从而，我们还可以用下列算法，通过单形符号来计算 betti number：
- 当 \(K = \emptyset\) 的时候，所有 betti number 均为 0，因此可以从零开始加
加速计算
基于线性空间的计算
通过递推的方法，我们逐一添加单形。每一次计算出单形的边界，判断 (2) 是否成立。
- 如果不能被表出，就记为负，并将单形添加至边界集合
- 如果能够被表出，就记为正
直接搜索
0 维同调群可以通过并查集来搜索出来。
高维同调群可以通过 Alexander duality 归约到 0 维同调群和点集本身1。
Example: 基于线性空间的计算
如图， \(R = \partial V\)，V 用于将 \(\partial\) 的线性不独立列约掉。
计算流程
- 根据单形加入的先后顺序，构造一个 \(\partial\) 的矩阵。
- 从左到右进行列消元
- 实际意义就是：判断后者能否被前者表出
- “从左到右”就是为了避免后面的单形表出前面的单形
- 对于空列，对应的就是 (1) 的情况，也就是正号；对于非空列，自然就是 (2) 的情况，也就是负号。
- 对于非空列，其含义就是：所有红色方块之和（在边界等价关系下）为 0。根据先进后出原则，最下面的方块（i.e. 深红色方块）视作被删去。
从而，列的空与非空，就是单形的符号；而深红色方块，就是同调元的生成与消亡。
谱序列算法
不难发现，这个矩阵就是一个上三角矩阵，因此，我们可以通过以下的方法进行消元：
其中：
- \(k_j := \operatorname*{card} K_j\)
- 第 \(\partial^j\) 列代表第 \([k_{j-1}+1, k_{j}]\) 列，对应着 \(K_j - K_{j-1}\) 的单形集合。也就是 \(K_j\) 中新增的单形。
如图，在第 i 轮的时候，对于每个第 \(\partial^j\) 列，我们都采用 \(\partial^{j-r}\) 列来对其进行消元。
不难发现，由于上图深色的方块之前本身就只有 3 列非零列，因此，在三次消元之后，就完成了这些方块的消元。
稀疏矩阵
使用稀疏矩阵来表示这个矩阵，然后进行消元，会更加节省空间和时间。
对偶理论
通过 union find，可以在 practically linear time 完成。而更高维的，可以通过 Alexander duality 来计算。
TODO
扩展过滤
以嵌入 \(\mathbb R^3\) 的 2-manifold 为例（如上图所示），通过下水平集+相对同调进行一次 filtration，我们得到了两类生成元：
- essential 生成元（无配对）
- inessential 生成元（有配对，i.e. 有出生和消失时刻）
对于没有配对的生成元，我们不能任由其生长到无穷大。对此，我们可以采用下水平集+上水平集的方式。从而，我们可以得到三个 PD 图：
- 从下往上的时候出生且消亡的生成元对
- 从下往上的时候出生，从上往下消亡的生成元对
- 从上往下的时候出生且消亡的生成元对
第一种的所有点必然在 y=x 之上；第三种必然在 y=x 之下；第二种则可能在 y=x 之上，也可能之下。（如下图所示）
