6. Computation Methods

单形的符号

如果 $L\text{sub}K$，且 K 只比 L 多一个单形（记作 $\sigma$​，假设是 d-单形），那么，不难证明：

1. 如果 $\sigma$ 和同维单形构成了闭链，那么 ${\beta }_d(K)={\beta }_d(L)+1$​
2. 如果 $\partial \sigma$ 不能被 $B_{d-1}(K)$ 的基线性表出，那么 ${\beta }_{d-1}(K)={\beta }_{d-1}(L)-1$

同时，如果 (1) 发生了，那么说明 $\partial (\sigma +\sum _{i=0}^m{\sigma }_i)=0⟹\partial \sigma =-\sum _{i=0}^m\partial {\sigma }_i$​，也就是 (2) 不会发生。

进一步，我们可以证明 (1) (2) 不仅是互斥的，还是对立的。

因此，给定 $K$，我们可以赋予单形 $\sigma$​ 一个（良定义的）符号。

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从而，我们还可以用下列算法，通过单形符号来计算 betti number：

• 当 $K=\mathrm{\varnothing }$ 的时候，所有 betti number 均为 0，因此可以从零开始加

加速计算

基于线性空间的计算

通过递推的方法，我们逐一添加单形。每一次计算出单形的边界，判断 (2) 是否成立。

• 如果不能被表出，就记为负，并将单形添加至边界集合
• 如果能够被表出，就记为正

直接搜索

0 维同调群可以通过并查集来搜索出来。

高维同调群可以通过 Alexander duality 归约到 0 维同调群和点集本身¹。

Example: 基于线性空间的计算

如图， $R=\partial V$，V 用于将 $\partial$ 的线性不独立列约掉。

计算流程

1. 根据单形加入的先后顺序，构造一个 $\partial$ 的矩阵。
2. 从左到右进行列消元
   • 实际意义就是：判断后者能否被前者表出
   • “从左到右”就是为了避免后面的单形表出前面的单形
3. 对于空列，对应的就是 (1) 的情况，也就是正号；对于非空列，自然就是 (2) 的情况，也就是负号。
4. 对于非空列，其含义就是：所有红色方块之和（在边界等价关系下）为 0。根据先进后出原则，最下面的方块（i.e. 深红色方块）视作被删去。

从而，列的空与非空，就是单形的符号；而深红色方块，就是同调元的生成与消亡。

谱序列算法

不难发现，这个矩阵就是一个上三角矩阵，因此，我们可以通过以下的方法进行消元：

其中：

• $k_j:=\mathrm{card}{K}_j$
• 第 ${\partial }^j$ 列代表第 $[k_{j-1}+1,k_j]$ 列，对应着 $K_j-K_{j-1}$ 的单形集合。也就是 $K_j$ 中新增的单形。

如图，在第 i 轮的时候，对于每个第 ${\partial }^j$ 列，我们都采用 ${\partial }^{j-r}$ 列来对其进行消元。

不难发现，由于上图深色的方块之前本身就只有 3 列非零列，因此，在三次消元之后，就完成了这些方块的消元。

稀疏矩阵

使用稀疏矩阵来表示这个矩阵，然后进行消元，会更加节省空间和时间。

对偶理论

通过 union find，可以在 practically linear time 完成。而更高维的，可以通过 Alexander duality 来计算。

TODO

扩展过滤

以嵌入 ${\mathbb{R}}^3$ 的 2-manifold 为例（如上图所示），通过下水平集+相对同调进行一次 filtration，我们得到了两类生成元：

1. essential 生成元（无配对）
2. inessential 生成元（有配对，i.e. 有出生和消失时刻）

对于没有配对的生成元，我们不能任由其生长到无穷大。对此，我们可以采用下水平集+上水平集的方式。从而，我们可以得到三个 PD 图：

1. 从下往上的时候出生且消亡的生成元对
2. 从下往上的时候出生，从上往下消亡的生成元对
3. 从上往下的时候出生且消亡的生成元对

第一种的所有点必然在 y=x 之上；第三种必然在 y=x 之下；第二种则可能在 y=x 之上，也可能之下。（如下图所示）

Reference

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1. Delfinado93 ↩