ddpm

author: Gemini 2.5 Pro 0605 & mtdickens1998

prompt: 从上往下推一遍，像一个大学老师一样，循循善诱、循序渐进将这篇论文的内容交给我，保证让我看懂。你的格式需要类似网上常见的 markdown 技术博客。

有几点注意事项：
1. 对于一些非常困难的步骤（if you think it's too difficult）但是它又不那么重要，你可以一笔带过（但是要显式告诉我），但是在 appendix 中给我仔细讲讲
2. 对于数学，用 \(...\)。同时，对于 \(...\) 中的所有公式，都要写清楚里面的符号的意思——I mean，需要像老师讲课一样写清楚，也就是保证零基础同学看一眼就能看明白
3. 除了讲清楚推导步骤以外，还要讲清楚各种 intuition。此外，你还要考虑我们可能存在的疑问（包括推导上的，以及 intuition 上的），列出来它们，并给我们稍微解答一下

你只能假设我学过微积分、线性代数以及初等概率论。其它我都没学过。

零基础读懂 Diffusion Model？带你逐行精读DDPM

你好，欢迎来到今天的深度学习研讨课。我是你的助教 Aurelle。今天要拆解的这篇论文，是生成模型领域的一座里程碑：来自 UC Berkeley 的 Denoising Diffusion Probabilistic Models (DDPM)。

在它之后，各种强大的图像生成模型（比如 Midjourney, Stable Diffusion 的底层）都或多或少借鉴了它的思想。所以，读懂它，对于理解现代 AI 的图像生成能力至关重要。

我们的目标是：不仅看懂，更要理解其精髓。

核心思想：先“破坏”再“修复”

在深入数学细节之前，我们先用一句话抓住 Diffusion 模型的灵魂：它通过一个“先加噪，再降噪”的过程来学习生成数据。

想象一下：

1. 你有一张高清的猫咪图片（这是我们的目标数据 \(x_0\)）。
2. 前向过程 (Forward Process)：你开始对这张图片反复地、轻微地撒上一点点“高斯噪声”。每撒一次，图片就模糊一点。重复几百上千次（比如 \(T\) 次）后，这张原始的猫咪图片最后就变成了一幅完全看不出内容的、纯粹的随机噪声图（\(x_T\)）。这个过程就像是把一块精美的雕塑放在风中，任其慢慢风化成一块普通的石头。
3. 逆向过程 (Reverse Process)：现在，神奇的部分来了。如果我们能教会一个神经网络模型，让它学会上面那个“风化”过程的逆操作，也就是，给它一块风化后的石头（\(x_t\)），它能预测出石头在被风化前一点点（\(x_{t-1}\)）的样子。那么，只要我们不断地重复这个“修复”或“去噪”的过程，最终是不是就能从一块完全随机的石头（纯噪声 \(x_T\)）开始，一步步逆推，最终“雕刻”出一块精美的雕塑（一张全新的、逼真的猫咪图片）呢？

这就是 Diffusion Model 的全部哲学。整个 DDPM 论文，就是围绕着如何用数学语言精确地描述这两个过程，并设计出一个可训练的神经网络模型来学习这个“修复”技能。

下面，我们正式进入论文的数学世界。

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第一站：前向过程 \(q\) (Forward Process) - 如何优雅地“破坏”

前向过程，也叫扩散过程 (diffusion process)，是把数据 \(x_0\) 逐渐变成噪声 \(x_T\) 的过程。DDPM 选择了一种非常简单和数学上很方便的方式：每一步都添加少量的高斯噪声。

这个过程被定义为一个马尔可夫链 (Markov chain)，意思是 \(x_t\) 的状态只依赖于它的前一个状态 \(x_{t-1}\)。

具体的加噪公式是： \(q(x_t | x_{t-1}) := \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1 - \beta_t} x_{t-1}, \beta_t \mathbf{I})\)

公式解读：

• \(q(x_t | x_{t-1})\)：表示在给定 \(x_{t-1}\) 的条件下，\(x_t\) 的概率分布。
• \(\mathcal{N}(...; \mu, \Sigma)\)：代表一个高斯分布（正态分布）。第一个参数是变量，分号后面是均值 \(\mu\) 和协方差矩阵 \(\Sigma\)。
• \(x_t\)：第 \(t\) 步加噪后的图像。你可以把它想象成一个向量，每个元素代表一个像素值。
• \(x_{t-1}\)：第 \(t-1\) 步的图像。
• \(\beta_t\)：一个非常小的正常数，它是一个超参数，由我们自己设定。它代表在第 \(t\) 步加入噪声的“强度”或“方差”。在 DDPM 中，\(\beta_t\) 会从 \(\beta_1=10^{-4}\) 慢慢增加到 \(\beta_T=0.02\)。
• \(\sqrt{1 - \beta_t} x_{t-1}\)：这是高斯分布的均值。我们先把上一时刻的图像 \(x_{t-1}\) 稍微缩小一点。
• \(\beta_t \mathbf{I}\)：这是高斯分布的协方差。\(\mathbf{I}\) 是单位矩阵，这意味着我们给每个像素都加上了方差为 \(\beta_t\) 的、独立的高斯噪声。

🤔 你可能会问 #1：为什么要在均值项里乘上 \(\sqrt{1 - \beta_t}\) 呢？直接加噪声不行吗？

答： 这是个非常好的细节问题！这样做是为了保持数据尺度的稳定。想象一下，如果 \(\beta_t\) 很小，\(\sqrt{1-\beta_t} \approx 1 - \frac{1}{2}\beta_t\)。如果我们假设 \(x_{t-1}\) 的方差是 1，那么 \(x_t\) 的方差就是 \((\sqrt{1-\beta_t})^2 \cdot 1 + \beta_t = 1 - \beta_t + \beta_t = 1\)。也就是说，通过这个缩放因子，我们能让每一步加噪后的数据方差大致保持不变，这有利于模型训练的稳定性。

一步到位：从 \(x_0\) 直接跳到 \(x_t\)

一步一步加噪太慢了。幸运的是，高斯分布有一个绝佳的特性：高斯分布的叠加还是高斯分布。这使得我们可以推导出一个从原始图像 \(x_0\) 直接得到任意时刻 \(t\) 的噪声图像 \(x_t\) 的公式。

我们定义 \(\alpha_t := 1 - \beta_t\) 和 \(\bar{\alpha}_t := \prod_{s=1}^{t} \alpha_s\) (累积乘积)。经过推导（这里用到了高斯分布的重参数技巧），我们可以得到：

\(q(x_t | x_0) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0, (1 - \bar{\alpha}_t)\mathbf{I})\)

公式解读：

• \(\bar{\alpha}_t\)：从第 1 步到第 \(t\) 步的 \(\alpha\) 的累积乘积。因为它是一堆小于 1 的数相乘，所以当 \(t\) 越大，\(\bar{\alpha}_t\) 越接近 0。
• \(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0\)：均值。随着 \(t\) 增大，\(\bar{\alpha}_t \to 0\)，所以原始图像 \(x_0\) 对均值的影响越来越小。
• \((1 - \bar{\alpha}_t)\mathbf{I}\)：协方差/方差。随着 \(t\) 增大，\((1 - \bar{\alpha}_t) \to 1\)，所以噪声的方差越来越大，最终接近 1。

这个公式至关重要！它意味着，在训练时，我们不需要真的去循环 \(t\) 次。我们可以随机选择一个时刻 \(t\)，然后用这个公式直接从 \(x_0\) 生成 \(x_t\) 的样本，这大大提高了训练效率。

当 \(T\) 足够大时（比如 DDPM 里的 1000），\(\bar{\alpha}_T \approx 0\)，此时 \(q(x_T | x_0) \approx \mathcal{N}(x_T; 0, \mathbf{I})\)，也就是一个标准的、纯粹的高斯噪声，几乎不包含 \(x_0\) 的任何信息。“破坏”完成！

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第二站：逆向过程 \(p_\theta\) (Reverse Process) - 如何艺术地“修复”

现在，我们要学习“修复”的艺术了。也就是，我们想要求解 \(p(x_{t-1} | x_t)\)——在已知 \(t\) 时刻图像 \(x_t\) 的情况下，\(t-1\) 时刻图像 \(x_{t-1}\) 的概率分布。

但这里有个大问题：我们无法直接计算 \(p(x_{t-1} | x_t)\)。因为它需要用到整个数据集的分布信息，这是极其复杂的，我们根本不知道。

怎么办？机器学习的经典套路来了：用一个神经网络去近似它！

我们定义一个由参数 \(\theta\) 构成的神经网络模型，用它来近似这个未知的逆向过程。我们把这个模型记为 \(p_\theta\)。

\(p_\theta(x_{t-1} | x_t) := \mathcal{N}(x_{t-1}; \mu_\theta(x_t, t), \Sigma_\theta(x_t, t))\)

公式解读：

• \(p_\theta(x_{t-1} | x_t)\)：我们模型化的逆向过程。它也是一个高斯分布。
• \(\mu_\theta(x_t, t)\)：一个神经网络。它的输入是当前时刻的噪声图像 \(x_t\) 和时刻 \(t\)，输出是预测的 \(t-1\) 时刻图像的均值。
• \(\Sigma_\theta(x_t, t)\)：另一个神经网络（或固定值）。它输出预测的协方差。

在 DDPM 中，作者发现，将协方差矩阵 \(\Sigma_\theta\) 固定为一个与 \(\beta_t\) 相关的常量（比如 \(\Sigma_\theta(x_t, t) = \sigma_t^2 \mathbf{I}\)），而不是让网络去学习它，效果也很好，甚至更稳定。所以，我们模型的全部任务，就集中在了如何准确地预测那个均值 \(\mu_\theta(x_t, t)\)。

这个预测均值的神经网络，就是 DDPM 的核心。论文中使用了一个带有 Attention 机制的 U-Net 结构，但我们暂时不用关心网络结构细节，只需知道它是一个函数 \(\mu_\theta(x_t, t)\) 就行。

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第三站：连接两个过程 - 如何训练模型？

我们有了“破坏”的前向过程 \(q\) 和“修复”的逆向模型 \(p_\theta\)。怎么让 \(p_\theta\) 学得像样呢？

我们的目标是让模型生成的图像尽可能逼真。在概率模型中，这通常通过最大化数据的对数似然 (log-likelihood) 来实现。也就是说，我们希望我们定义的整个生成过程 \(p_\theta(x_0)\)，对于真实数据 \(x_0\) 来说，其概率尽可能大。

但是， \(p_\theta(x_0) = \int p_\theta(x_{0:T}) dx_{1:T}\) 涉及到对所有可能噪声路径的积分，这是个维度高到无法计算的积分。 - 实际上，如果简单粗暴地直接对上面这个积分进行蒙特卡洛采样，理论上也能估计出来 - 但是，如果对上面这个式子暴力蒙特卡洛，就会让这个模型的训练目标，跟逐步修复噪声图片无关 - 而如果通过 ELBO，强行引入一个高斯噪声 \(q\)，那么就可以“强行”让我们的 \(p_\theta\) 的训练目标跟逐渐加入的噪声 \(q\) “相匹配”，从而将 \(p_\theta\) 炼成 \(q\) 的形状

这里，论文引入了一个在变分推断（Variational Inference）中非常核心的工具：变分下界 (Variational Lower Bound, VLB)，也叫证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO)。

⚠️ 预警：前方高能，但我们会用直觉来导航！

这个 VLB 公式的推导是这篇论文里最劝退的数学部分。它涉及到 KL 散度、琴生不等式等概念。为了不打断主线思路，我们这里先给出一个“直觉版”的解释，并直接看它的最终结果。如果你对完整的推导感兴趣，我把它放在了文末的 附录A 中。

直觉版解释： 我们虽然不能直接最大化 \(\log p_\theta(x_0)\)，但我们可以找到一个它的“下界” \(L_{VLB}\)，并且这个下界是可计算、可优化的。我们通过最大化这个下界 \(L_{VLB}\)，来间接地抬高原始的 \(\log p_\theta(x_0)\)。

经过一番推导（详见附录A），这个下界可以写成一系列项的和（论文中的公式 5）：

\(L_{VLB} = \mathbb{E}_q[\underbrace{D_{KL}(q(x_T|x_0) || p(x_T))}_{L_T} + \sum_{t=2}^{T} \underbrace{D_{KL}(q(x_{t-1}|x_t, x_0) || p_\theta(x_{t-1}|x_t))}_{L_{t-1}} - \underbrace{\log p_\theta(x_0|x_1)}_{L_0}]\)

公式解读：

• \(D_{KL}(q || p)\)：KL 散度。它衡量两个概率分布 \(q\) 和 \(p\) 的差异程度。\(D_{KL} \ge 0\)，当且仅当 \(q\) 和 \(p\) 完全相同时取 0。我们的目标就是让模型分布 \(p_\theta\) 去逼近真实分布 \(q\)，也就是最小化这些 KL 散度项。
• \(L_T\): 最后一项，衡量加噪到 \(T\) 时刻的分布与标准正态分布的差异。由于我们设计得很好，这一项基本是个可以忽略的常数。
• \(L_0\): 最后一小步去噪，从 \(x_1\) 生成 \(x_0\) 的过程。它是一个由离散解码器定义的项。
• \(L_{t-1}\): 这是最核心的训练信号来源！ 它说，对于每一步 \(t\)，我们的模型 \(p_\theta(x_{t-1}|x_t)\) 应该要和 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 尽可能地像。

🤔 你可能会问 #2：等等！\(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 是什么？之前不是说逆向过程 \(p(x_{t-1}|x_t)\) 不能求吗？

答： 绝妙的问题！我们确实求不出 \(p(x_{t-1}|x_t)\)，因为它依赖于整个未知的数据集。但是！如果我们额外给定原始图像 \(x_0\)，那么这个后验概率 (posterior) \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 是可以被精确计算的！

这是因为 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 同时依赖于前向过程 \(q(x_t|x_{t-1})\) 和 \(q(x_{t-1}|x_0)\)，而这两个我们都是知道的（都是高斯分布）。利用贝叶斯定理，我们可以推导出 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 也是一个高斯分布，并且它的均值和方差都有具体的解析表达式（见论文公式 6 和 7）。

这就提供了一个完美的“训练靶子”！在训练时，我们有 \(x_0\)，所以我们知道 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 的确切形式。我们的任务就是训练神经网络 \(\mu_\theta(x_t, t)\) 去拟合这个已知的、理想的均值。

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第四站：DDPM 的神来之笔 - 简化目标函数

虽然我们找到了训练目标（最小化 \(L_{t-1}\) 的 KL 散度），但它仍然有点复杂。KL 散度涉及到两个高斯分布的均值和方差，直接优化它，不如把它展开。

\(L_{t-1} = \mathbb{E}_q \left[ \frac{1}{2\sigma_t^2} || \tilde{\mu}_t(x_t, x_0) - \mu_\theta(x_t, t) ||^2 \right] + C\)

这里的 \(\tilde{\mu}_t(x_t, x_0)\) 就是我们上面说的那个“训练靶子”——\(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 的真实均值。这个公式告诉我们，训练的核心就是让我们的神经网络预测的均值 \(\mu_\theta\) 去逼近真实的均值 \(\tilde{\mu}_t\)。

现在，DDPM 的作者们做了一个极其漂亮的代数变形和重新参数化 (reparameterization)。

1. 回忆一下，前向过程是 \(x_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t} \epsilon\)，其中 \(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})\) 是注入的随机噪声。
2. 经过一些代数推导（见论文公式 10 和 11），作者们发现，预测均值 \(\mu_\theta\) 等价于 预测当初加入的噪声 \(\epsilon\)。
3. 他们将神经网络 \(\mu_\theta(x_t, t)\) 重新设计成一个预测噪声的神经网络 \(\epsilon_\theta(x_t, t)\)。
   • 旧思路：网络输入 \(x_t\)，直接输出均值 \(\mu_\theta\)。
   • 新思路：网络输入 \(x_t\)，输出预测的噪声 \(\epsilon_\theta\)。然后通过一个固定的计算公式，从 \(x_t\) 和 \(\epsilon_\theta\) 得到均值 \(\mu_\theta\)。

当把这个新的噪声预测模型 \(\epsilon_\theta\) 代入到损失函数 \(L_{t-1}\) 后，经过一番化简，奇迹发生了！损失函数变成了一个异常简洁和优美的形式：

\(L_{simple}(\theta) := \mathbb{E}_{t, x_0, \epsilon} \left[ ||\epsilon - \epsilon_\theta(\sqrt{\bar{\alpha}_t}x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon, t)||^2 \right]\)

公式解读：

• \(\epsilon\)：在 \(t\) 时刻，我们从 \(x_0\) 生成 \(x_t\) 时，随机采样的真实噪声。
• \(\epsilon_\theta(...)\)：我们的神经网络。输入是噪声图像 \(x_t\)（这里用它的定义展开了）和时刻 \(t\)。输出是网络预测的噪声。
• \(||\cdot||^2\)：L2 范数，也就是均方误差 (MSE)。

这个简化后的目标函数，就是 DDPM 的核心算法。它的训练流程变得非常清晰：

1. 从你的数据集中随机抽取一张真实图片 \(x_0\)。
2. 随机选择一个时间步 \(t\) (从 1 到 T)。
3. 从标准高斯分布中随机采样一个噪声 \(\epsilon\)。
4. 通过 \(x_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t} \epsilon\) 生成该时刻的噪声样本 \(x_t\)。
5. 将 \(x_t\) 和 \(t\) 送入我们的 U-Net 模型 \(\epsilon_\theta\)。
6. 计算模型预测的噪声 \(\epsilon_\theta\) 和真实的噪声 \(\epsilon\) 之间的均方误差。
7. 使用梯度下降，更新网络参数 \(\theta\)，以减小这个误差。

这个过程本质上就是在训练一个“降噪自编码器” (Denoising Autoencoder)。 作者发现，这个简单的目标函数不仅在实现上更简单，而且在实验效果上比直接优化 VLB 更好，能生成质量更高的图片。

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总结与回顾

好了，同学，我们已经走完了 DDPM 最核心的旅程。让我们回顾一下：

1. 构想：通过模拟一个“加噪”再“去噪”的过程来生成图像。
2. 前向过程：定义了一个数学上很方便的、逐步加高斯噪声的马尔可夫链。它有一个很好的性质，可以从 \(x_0\) 一步跳到任意 \(x_t\)。
3. 逆向过程：由于真实的逆向过程不可知，我们用一个神经网络 \(p_\theta\) 去近似它。
4. 训练目标：通过最大化变分下界 (VLB) 来训练模型。其核心是让模型的每一步逆向操作，都去拟合一个已知的、真实的逆向后验分布 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\)。
5. DDPM 的创新：通过巧妙的重新参数化，将复杂的 VLB 目标函数简化为了一个非常直观的噪声预测任务。整个训练过程就变成了让一个 U-Net 模型学会如何从一张加噪图片中剥离出噪声。

一旦模型 \(\epsilon_\theta(x_t, t)\) 训练好了，我们如何生成一张新图片呢？非常简单：

1. 从一个纯粹的高斯噪声 \(x_T \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})\) 开始。
2. 从 \(t=T\) 开始，一步步往前走，直到 \(t=1\)：
   • 将当前的 \(x_t\) 和 \(t\) 输入模型，得到预测的噪声 \(\epsilon_\theta(x_t, t)\)。
   • 使用这个预测的噪声，通过一个固定的公式计算出 \(x_{t-1}\) 的均值（即 \(\mu_\theta\)）。
   • 从以该均值为中心的高斯分布中采样得到 \(x_{t-1}\) (如果 \(t>1\)，还要加上一点随机噪声；如果 \(t=1\)，则不加)。
3. 最后得到的 \(x_0\) 就是我们生成的新图片！

希望这次讲解能让你对 DDPM 有一个清晰而深入的理解。这篇论文的思想非常优雅，它将一个复杂的生成任务，分解成了一系列简单的、可控的降噪步骤，为后续的生成模型发展铺平了道路。

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附录：那些被我们“一笔带过”的数学细节

附录A：变分下界 (VLB) 是如何推导出来的？

我们的目标是最大化 \(\log p_\theta(x_0)\)。

\(\log p_\theta(x_0) = \log \int p_\theta(x_{0:T}) dx_{1:T}\)

我们引入我们已知的分布 \(q(x_{1:T}|x_0)\)，在积分号内同乘同除它（这个操作不改变等式）：

\(= \log \int p_\theta(x_{0:T}) \frac{q(x_{1:T}|x_0)}{q(x_{1:T}|x_0)} dx_{1:T}\)

\(= \log \mathbb{E}_{q(x_{1:T}|x_0)} \left[ \frac{p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)} \right]\)

这里用到了期望的定义 \(\mathbb{E}_{q(x)}[f(x)] = \int f(x)q(x)dx\)。

现在，我们使用琴生不等式 (Jensen's Inequality)。对于一个凹函数（比如 \(\log(x)\)），有 \(\log(\mathbb{E}[Y]) \ge \mathbb{E}[\log(Y)]\)。所以：

\(\ge \mathbb{E}_{q(x_{1:T}|x_0)} \left[ \log \frac{p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)} \right] = L_{VLB}\)

这就是变分下界。我们现在来拆解这个 \(L_{VLB}\)。

\(p_\theta(x_{0:T}) = p(x_T) \prod_{t=1}^T p_\theta(x_{t-1}|x_t)\) （根据逆向过程的马尔可夫链定义） \(q(x_{1:T}|x_0) = \prod_{t=1}^T q(x_t|x_{t-1})\) （根据前向过程的马尔可夫链定义）

代入 \(L_{VLB}\) 中的 log 项：

\(\log \frac{p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)} = \log \frac{p(x_T) \prod_{t=1}^T p_\theta(x_{t-1}|x_t)}{ \prod_{t=1}^T q(x_t|x_{t-1})}\) \(= \log p(x_T) + \sum_{t=1}^T \log \frac{p_\theta(x_{t-1}|x_t)}{q(x_t|x_{t-1})}\)

这里用贝叶斯定理 \(q(x_t|x_{t-1}) = \frac{q(x_{t-1}|x_t, x_0) q(x_t|x_0)}{q(x_{t-1}|x_0)}\)，代入后可以进行拆分（这一步推导比较繁琐），最终可以整理成 KL 散度的形式。一个更简洁的拆解方式是：

\(\log \frac{p_\theta(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)} = \log \frac{p_\theta(x_0) \prod_{t=1}^T p_\theta(x_t|x_{t-1})}{q(x_1|x_0) \prod_{t=2}^T q(x_t|x_{t-1})} = ...\)

...经过一系列的拆分和重组，最终会得到论文中公式(5)的形式，即：

\(L_{VLB} = \mathbb{E}_q[ D_{KL}(q(x_T|x_0) || p(x_T)) + \sum_{t=2}^T D_{KL}(q(x_{t-1}|x_t,x_0) || p_\theta(x_{t-1}|x_t)) - \log p_\theta(x_0|x_1) ]\) 这可以写成KL散度的形式。

附录B: \(q(x_{t-1}|x_t, x_0)\) 的推导

根据贝叶斯定理，\(q(x_{t-1}|x_t, x_0) \propto q(x_t|x_{t-1}, x_0) q(x_{t-1}|x_0)\)。 因为前向过程是马尔可夫的，\(q(x_t|x_{t-1}, x_0) = q(x_t|x_{t-1})\)。 所以 \(q(x_{t-1}|x_t, x_0) \propto q(x_t|x_{t-1}) q(x_{t-1}|x_0)\)。

我们知道：

\(q(x_t|x_{t-1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{\alpha_t} x_{t-1}, (1-\alpha_t)\mathbf{I})\) \(q(x_{t-1}|x_0) = \mathcal{N}(x_{t-1}; \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} x_0, (1-\bar{\alpha}_{t-1})\mathbf{I})\)

我们知道高斯分布的概率密度函数形式为 \(f(x) \propto \exp(-\frac{1}{2} \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2})\)。 将上面两个高斯分布的密度函数相乘，只看指数部分，它是一个关于 \(x_{t-1}\) 的二次函数。通过配方法，我们可以把它重新整理成 \(\exp(-\frac{1}{2} \frac{(x_{t-1} - \tilde{\mu})^2}{\tilde{\beta}})\) 的形式。 配方后的均值 \(\tilde{\mu}\) 和方差 \(\tilde{\beta}\) 就是论文中给出的 \(\tilde{\mu}_t(x_t, x_0)\) 和 \(\tilde{\beta}_t\) 的表达式。这证明了后验分布也是一个高斯分布，并且其参数是可解的。